Question

【題目】已知數列中，，點在直線上，其中.

（1）令，求證數列是等比數列；

（2）求數列的通項；

（3）設、分別為數列、的前項和是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出，若不存在，則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）；（3）存在實數，使得數列為等差數列.

【解析】

（1）先由題意得到，再由，得到，即可證明結論成立；

（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出數列的通項；

（3）把數列an}、{bn}通項公式代入an+2bn，進而得到Sn+2T的表達式代入Tn，進而推斷當且僅當λ＝2時，數列是等差數列．

（1）因為點在直線上，所以，因此

由得

所以數列是以為公比的等比數列；

（2）因為，由得，故，

由（1）得，

所以，即，

所以，，…，，

以上各式相加得：

所以；

（3）存在λ＝2，使數列是等差數列．

由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2

∴

又=

∴，

∴當且僅當λ＝2時，數列是等差數列．