Question

【題目】已知函數，且.

（1）判斷并證明在區間上的單調性；

（2）若函數與函數在上有相同的值域，求的值；

（3）函數，若對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）利用單調性的定義證得在上的單調性.

（2）根據在上的單調性，求得在上的值域，由此求得的值.

（3）由（1）求得在上的值域，由此列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（1）在區間上為減函數.任取，，由于,，，所以，所以在上遞減.

（2）因為在上遞減，所以其值域為，即時，.因為為最大值，所以最小值只能為或.若，則.若，則.綜上所述，.

（3）當，時，在上遞減，所以在上的最大值為，最小值為.由（2）知在上的值域為.所以，所以，解得.