Question

【題目】已知橢圓的方程為，在橢圓上，橢圓的左頂點為，左、右焦點分別為，的面積是的面積的倍．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線（）與橢圓交于，，連接，并延長交橢圓于，，連接，指出與之間的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

（1）由題意可求得，，從而可得橢圓的方程．（2）設，則，可得直線的方程為，與橢圓方程聯立后消元可得二次方程，然后根據二次方程根與系數的關系得到點的坐標．同理可得點的坐標，最后通過計算可得．

（1）由的面積是的面積的倍，可得，即，

又，

所以，

由在橢圓上，可得，

所以，

可得，，

所以橢圓的方程為．

（2）設，則，

故直線的方程為，

由消去整理得，

又，

代入上式化簡得，

設，，

則，

所以，．

又直線的方程為，

同理可得，．

所以，

所以．