Question

12、已知函數f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數，若對于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且當x∈[0，2）時，f（x）=log₂（x+1），則f（-2009）+f（2010）的值為（　　）

A、-2

B、-1

C、2

D、1

Answer 1

分析：由偶函數的性質及函數的周期性將f（-2009）+f（2010）的值用x∈[0，2）時上的函數值表示出來，代入解析式求出值

解答：解：∵數f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數，且對于x≥0，都有f（x+2）=f（x），
∴f（-2009）+f（2010）=f（2009）+f（2010）=f（1）+f（0）
又當x∈[0，2）時，f（x）=log₂（x+1），
∴f（-2009）+f（2010）=f（1）+f（0）=log₂（1）+log₂（1+1）=1，
故選D．

點評：本題考查函數的周期性與函數偶函數的性質，解題的關鍵是根據函數的這兩個性質靈活轉化，將要求函數值用已知解析式的區間上的函數值表示出來，這是函數周期性運用的一種主要類型，題后應總結其規律，以便于做題時推廣．