Question

已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的函數，若對于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在[-1，1]上是增函數，還是減函數，并用單調性定義證明你的結論；
（3）設f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法先求出f（0），然后令y=-x，可得f（-x）與f（x）的關系，從而判定函數的奇偶性；
（2）根據函數單調性的定義先在定義域上任取兩點，并規定大小，然后判定函數的大小，從而確定函數的單調性；
（3）關于恒成立的問題常常進行轉化，若f（x）＜（1-2a）m+2，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立可轉化成（1-2a）m+2＞1，?a∈[-1，1]恒成立，然后將其看成關于a的函數研究恒成立問題．

解答：解：（1）令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0）∴f（0）=0
令y=-x，則f（x-x）=f（0）=f（x）+f（-x），∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函數．（4分）
（2）函數f（x）在[-1，1]上是增函數．（6分）
設x₁，x₂∈[-1，1]且x₁＜x則x₂-x₁＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=-f（x₂-x₁）
又∵x＞0，f（x）＞0∴f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=-f（x₂-x₁）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故由函數單調性定義可知，函數f（x）在[-1，1]上是增函數．（10分）
（3）設f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立．
則必須（1-2a）m+2＞1，?a∈[-1，1]恒成立；
即-2ma+m+1＞0，?a∈[-1，1]恒成立
令g（a）=-2ma+m+1必須

g(-1)＞0 g(1)＞0

即

-2m(-1)+m+1＞0 -2m+m+1＞0

解得-

1

3

＜m＜1
故實數m的取值范圍為-

1

3

＜m＜1．（14分）

點評：本題主要考查了抽象函數的奇偶性和單調性，以及函數恒成立問題的運用，同時考查了轉化思想和計算能力，屬于中檔題．