Question

已知函數f（x）是定義在R上，圖象關于原點對稱，且是f(x+1)=-

1

f(x)

，當x∈（0，1）時，f（x）=2^x-1，則f（log

1

2

6）=

-

1

2

．

Answer 1

分析：先確定log

1

2

6的取值范圍，利用函數的周期性與函數的奇函數的性質將f（log

1

2

6）的值用f（log2

3

2

）的值表示出來，再由x∈（0，1）時，f（x）=2^x-1，即可求出答案．

解答：解：∵f(x+1)=-

1

f(x)

，
∴f(x+2)=-

1

f(x+1)

=f（x），
∴函數f（x）是周期函數，周期T=2，
∵函數f（x）是定義在R上，圖象關于原點對稱，
∴f（x）是R上的奇函數，
f（log

1

2

6）=f（-log₂6）=f（-log₂6+2）=f（log2

1

6

+log24）=f（log2

2

3

）=f（-log2

3

2

）=-f（log2

3

2

），
又當x∈（0，1）時，f（x）=2^x-1，
∴f（log2

3

2

）=2log2

3

2

-1=

3

2

-1=

1

2

，
∴f（log

1

2

6）=-

1

2

，
故答案為：-

1

2

．

點評：本題考查了抽象函數及其應用，考查了函數的奇偶性，周期性，以及對數的運算性質，考查了函數的求值．綜合考查了函數性質的應用．屬于中檔題．