Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上有唯一零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，分別求出及的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求出的圖象在處的切線方程；

（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可知，然后構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而可證明，即，進(jìn)而由，證明，又，結(jié)合單調(diào)性可知在上有唯一零點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)?/span>.

則，則，.

故的圖象在處的切線方程為，即.

（2）證明：.

因?yàn)?/span>，令，得；令，得.

又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以.

令.

顯然在上單調(diào)遞減.

又.

所以，即.

.

令，

則.

令，則，所以在上單調(diào)遞增，

則，所以，，故，

所以在上單調(diào)遞增，，所以.

又，結(jié)合單調(diào)性可知在上有唯一零點(diǎn)，命題得證.