Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形且，側(cè)面底面，且側(cè)面是正三角形，是中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）由側(cè)面是正三角形，可知，進(jìn)而可知底面，從而可得，再結(jié)合底面為矩形且，可得，從而可知，即，即可證明平面；

（2）過(guò)作的平行線(xiàn)，顯然兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的法向量，平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，易知為鈍角，可得，求解即可.

（1）證明：因?yàn)閭?cè)面是正三角形，是的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，所以底面，所以.

因?yàn)榈酌?/span>為矩形且，所以.

所以，則.

所以，即.

又因?yàn)?/span>，所以平面.

（2）過(guò)作的平行線(xiàn)，顯然兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，則點(diǎn)，，，，

所以，，.

設(shè)平面的法向量為.

由，得，

令，得平面的法向量為；

同理，設(shè)平面的法向量為.

由得，

令，得平面的法向量為.

設(shè)二面角的大小為，易知為鈍角，則.

所以二面角的余弦值為.