Question

【題目】已知橢圓與過其右焦點F（1，0）的直線交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，且直線l與直線OD的斜率之積為.

（1）求C的方程；

（2）設橢圓的左頂點為M，kMA，kMB分別表示直線MA，MB的斜率，求證.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）設A，B的坐標，代入橢圓中，兩式相減可得直線AB，OD的斜率之積，由題意可得a，b的關系，再由右焦點的坐標及a，b，c之間的關系求出a，b的值，求出橢圓的方程；

（2）由（1）可得M的坐標，將直線l的方程代入橢圓的方程，求出兩根之和及兩根之積，進而求出直線AM，BM的斜率之和，再由直線AB，OD的斜率之積可證得kAM+kBMkOD.

（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），

將點A，B坐標代入橢圓的方程，兩式相減得0，

所以kAB，

因為D為AB的中點，所以kOD，

所以kABkOD，

所以，又a2﹣b2＝1，解得：a2＝4，b2＝3，

所以橢圓C的方程為：1.

（2）由（1）可得左頂點M（﹣2，0），由題意設直線AB的方程：x＝my+1，

聯立直線與橢圓的方程：，整理可得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，

所以y1+y2，y1y2，

所以kAM+kBM

m，

因為kABkODkOD，所以mkOD，即kAM+kBMkOD.