Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形且，側面底面，且側面是正三角形，是中點.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由側面是正三角形，可知，進而可知底面，從而可得，再結合底面為矩形且，可得，從而可知，即，即可證明平面；

（2）過作的平行線，顯然兩兩垂直，以為原點建立如下圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面的法向量，平面的法向量，設二面角的大小為，易知為鈍角，可得，求解即可.

（1）證明：因為側面是正三角形，是的中點，所以.

因為側面底面，側面底面，所以底面，所以.

因為底面為矩形且，所以.

所以，則.

所以，即.

又因為，所以平面.

（2）過作的平行線，顯然兩兩垂直，以為原點建立如下圖所示的空間直角坐標系，

不妨設，則點，，，，

所以，，.

設平面的法向量為.

由，得，

令，得平面的法向量為；

同理，設平面的法向量為.

由得，

令，得平面的法向量為.

設二面角的大小為，易知為鈍角，則.

所以二面角的余弦值為.