Question

【題目】已知向量 =（2sin ，2sin ）， =（cos ，﹣ sin ）． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）= + 的最小正周期；
（Ⅱ）若β= ，g（β）=tan2α，α≠ + 且α≠ +kπ（k∈Z），數(shù)列{an}滿足a1= ，an+12= ang（an）（n≤16且n∈N*），令bn= ，求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（I）f（x）= + =2sin cos +2 ×（﹣ sin ）+ = + = ． ∴f（x）的最小正周期為T= =4π．
（II） = =2cosα，∴β= = =tanα，
g（β）=tan2α= = ，α≠ + 且α≠ +kπ（k∈Z），
∵數(shù)列{an}滿足a1= ，an+12= ang（an）（n≤16且n∈N*），
∴an+12= an× = ，取倒數(shù)可得： ﹣ =﹣1，即bn+1﹣bn=﹣1．b1=16．
∴數(shù)列{bn}的通項公式bn=16﹣（n﹣1）=17﹣n，（n≤16且n∈N*），
前n項和Sn= = ，（n≤16且n∈N*）
【解析】（I）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式與和差公式可得：f（x）= + = ．即可得出f（x）的最小正周期為T=4π．（II） = =2cosα，可得β= =tanα，g（β）=tan2α= ，α≠ + 且α≠ +kπ（k∈Z），由數(shù)列{an}滿足a1= ，an+12= ang（an）（n≤16且n∈N*），可得an+12= an× = ，取倒數(shù)可得： ﹣ =﹣1，即bn+1﹣bn=﹣1．b1=16．再利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．