Question

【題目】在四邊形ABCD中（如圖①），AB∥CD，AB⊥BC，G為AD上一點，且AB=AG=1，GD=CD=2，M為GC的中點，點P為邊BC上的點，且滿足BP=2PC．現沿GC折疊使平面GCD⊥平面ABCG（如圖②）．
（1）求證：平面BGD⊥平面GCD：
（2）求直線PM與平面BGD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在直角梯形ABCD中，AB=AG=1，GD=CD=2，BC=2 ，cosD= ，

∴GC= = ，BG= ，

∴BG2+GC2=BC2，∴BG⊥GC，

∵平面GCD⊥平面ABCG，平面GCD∩平面ABCG=GC，

∴BG⊥平面GCD，

∵BG平面GCD，

∴平面BGD⊥平面GCD

（2）解：取BP的中點H，連接GH，則GH∥MP，作HQ⊥平面BGD，連接GQ，則∠HGQ為直線GH與平面BGD所成的角，即直線PM與平面BGD所成角．

由（1），作CN⊥GD，則CN⊥平面BGD，

∵HQ⊥平面BGD，

∴HQ∥GN，

∴ = = ，

∴HQ= CN．

△DGC中，GC= ，DM= ，

由GDCN=GCDM，得CN= ，

∴HQ= ，

∵直角梯形ABCD中，GH= ，∴sin∠HGQ= = ，

∴直線PM與平面BGD所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）利用勾股定理，證明BG⊥GC，根據平面與平面垂直的性質，證明BG⊥平面GCD，即可證明平面BGD⊥平面GCD：（2）取BP的中點H，連接GH，則GH∥MP，作HQ⊥平面BGD，連接GQ，則∠HGQ為直線GH與平面BGD所成的角，即直線PM與平面BGD所成角．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．