Question

【題目】集合M的若干個子集的集合稱為集合M的一個子集族．對于集合{1，2，3…n}的一個子集族D滿足如下條件：若A∈D，BA，則B∈D，則稱子集族D是“向下封閉”的． （Ⅰ）寫出一個含有集合{1，2}的“向下封閉”的子集族D并計算此時 的值（其中|A|表示集合A中元素的個數(shù)，約定||=0； 表示對子集族D中所有成員A求和）；
（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封閉的”子集族，對A∈D，記k=max|A|， （其中max表示最大值），
（ⅰ）求f（2）；
（ⅱ）若k是偶數(shù)，求f（k）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）含有集合{1，2}的“向下封閉”的子集族D={，{1}，{2}，{1，2}} 此時
（Ⅱ）設(shè){1，2，3…n}的所有不超過k個元素的子集族為Dk ，
（ⅰ）易知當(dāng)D=D2時， 達到最大值，
∴
（ⅱ）設(shè)D是使得k=max|A|的任一個“向下封閉”的子集族，記D=D′∪D'，其中D′為不超過k﹣2元的子集族，D'為k﹣1元或k元的子集，
則 =
現(xiàn)設(shè)D'有l(wèi)（ ）個{1，2，3…n}的k元子集，由于一個k﹣1元子集至多出
現(xiàn)在n﹣k+1個{1，2，3…n}的k元子集中，而一個k元子集中有 個k﹣1元子集，故l個k元子集至少產(chǎn)生 個不同的k﹣1元子集．
由（ⅰ）得
【解析】（Ⅰ）求出含有集合{1，2}的“向下封閉”的子集族D，并計算此時 的值；（Ⅱ）設(shè){1，2，3…n}的所有不超過k個元素的子集族為Dk ， （ⅰ）易知當(dāng)D=D2時， 達到最大值，求出f（2）的值即可；（ⅱ）設(shè)D是使得k=max|A|的任一個“向下封閉”的子集族，記D=D′∪D'，其中D′為不超過k﹣2元的子集族，D'為k﹣1元或k元的子集，則求出 ，設(shè)D'有l(wèi)（ ）個{1，2，3…n}的k元子集，由于一個k﹣1元子集至多出現(xiàn)在n﹣k+1個{1，2，3…n}的k元子集中，而一個k元子集中有 個k﹣1元子集，故l個k元子集至少產(chǎn)生 個不同的k﹣1元子集，求出f（k）即可．
【考點精析】掌握子集與真子集是解答本題的根本，需要知道任何一個集合是它本身的子集；n個元素的子集有2n個,n個元素的真子集有2n －1個,n個元素的非空真子集有2n－2個．