Question

【題目】己知橢圓C：的左右焦點分別為F1，F2，直線l：y＝kx+m與橢圓C交于A，B兩點．O為坐標原點．

（1）若直線l過點F1，且｜AB｜＝，求k的值；

(2)若以AB為直徑的圓過原點O，試探究點O到直線AB的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1） ；（2） .

【解析】

（1）由條件得到m=2k，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．由弦長公式|AB|，代入整理，解得．

（2）設直線l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由條件結合韋達定理得到3m2=8k2+8．利用點O到直線AB的距離公式求得d2=，從而得到定值．

（1）因為直線l過點F1(-2,0)，所以m=2k即直線l的方程為y=k(x+2).

設A(x1，y1)，B(x2，y2).

聯立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．

∴ x1+x2=，x1x2=． 由弦長公式|AB|=，

代入整理得，解得k2=1.∴．

（2）設直線l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

聯立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.

∴ x1+x2=，x1x2=． 以AB為直徑的圓過原點O，即．

∴ x1x2+ y1y2=0．將y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得

(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0． 將x1+x2=，x1x2=代入，

整理得3m2=8k2+8．設點O到直線AB的距離為d，

于是d2=， 故O到直線AB的距離是定值為．