Question

【題目】設橢圓為左右焦點,為短軸端點,長軸長為4,焦距為,且,的面積為.

(Ⅰ)求橢圓的方程

(Ⅱ)設動直線橢圓有且僅有一個公共點,且與直線相交于點.試探究:在坐標平面內是否存在定點,使得以為直徑的圓恒過點?若存在求出點的坐標,若不存在.請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在定點P(1,0)

【解析】

（Ⅰ）由橢圓長軸長為4，焦距為2c，且b＞c，△BF1F2的面積為，列方程組，求出a，b，c，得橢圓方程．（Ⅱ）將直線l方程與橢圓方程聯立，由直線與橢圓有且只有一個公共點，求出M，由，得N（4，4k+m）．假設存在定點P滿足條件，由圖形對稱性知，點P必在x軸上．設P（x1，0），由，得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3＝0，由此可求出滿足條件的定點.

(1)由題意知，解得：，故橢圓C的方程是．

(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．

因為動直線l與橢圓C有且只有一個公共點M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，

即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡得4k2－m2＋3＝0.(*)

此時x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－

由得N(4,4k＋m)．

假設平面內存在定點P滿足條件，由圖形對稱性知，點P必在x軸上．

設P(x1,0)，則對滿足(*)式的m、k恒成立．

因為＝(－，＝(4－x1,4k＋m)，由，

得-＋－4x1＋x＋＋3＝0，

整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)

由于(**)式對滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.

故存在定點P(1,0)，使得以MN為直徑的圓恒過點M.