Question

【題目】已知函數f（x）是定義域為R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=x2+2x．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=；（2）（，+∞）．

【解析】

試題（1）運用奇函數的定義，可得x＜0的解析式，進而得到f（x）的解析式；

（2）求出f（x）在R上遞增．不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0即為f（1+2t）＞﹣f（t﹣2）=f（2﹣t），即有1+2t＞2﹣t，解不等式即可得到所求范圍．

解：（1）∵函數f（x）是定義域為R上的奇函數，

∴f（x）=﹣f（﹣x）

又∵當x＞0時，f（x）=x2+2x．

若x＞0，則﹣x＜0．f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x

∴f（x）=﹣f（﹣x）=2x﹣x2．

∴f（x）=；

（2）當x＞0時，f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1，

區間（0，+∞）在對稱軸x=﹣1的右邊，為增區間，

由奇函數的性質，可得f（x）在R上遞增．

不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0即為

f（1+2t）＞﹣f（t﹣2）=f（2﹣t），

即有1+2t＞2﹣t，解得t＞

則t的取值范圍是（，+∞）．