Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）第（Ⅰ）問，直接轉化為證明平面. （2）第（Ⅱ）問，可以利用幾何法求，也可以利用向量法求直線與平面所成角的正弦值.

試題解析：（Ⅰ）如圖，取的中點，連結，.

因為為正三角形，所以；

因為，所以.

又，，平面，

所以平面.

因為平面，所以.

（Ⅱ）解法一：過點作的垂線，垂足為，連結.

因為平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，故平面.所以直線與平面所成角為.

在中，，，，

由余弦定理得 ，所以.

所以，.又，

故 ，即直線與平面所成角的正弦值為.

解法二：如圖，以原點，以，為，軸建立空間直角坐標系.

可求得，則，，，.

平面的一個法向量為，.

設直線與平面所成角為，則 .