Question

【題目】已知函數，，.

(1)當時，若對任意均有成立，求實數的取值范圍；

(2)設直線與曲線和曲線相切，切點分別為，，其中.

①求證：；

②當時，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①證明見解析；②

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據題意，可得不等式，由于，則，

利用導數法，分別函數的最小值，的最大值，從而可確定實數的取值范圍；（Ⅱ）①根據題意，由函數，的導數與切點分別給出切線的方程，由于切線相同，則其斜率與在軸上的截距相等，建立方程組，由，從而可證；②將不等式，轉化為，構造函數，由函數的單調性求其最大值，從而問題得于解決.

試題解析：（Ⅰ）:當時：

由知：

依題意：對恒成立

設

當時；當時，

設

當時；當時，

故：實數k的取值范圍是

（Ⅱ）由已知：，

①：由得：

由得：

故

，，，故：

②：由①知：，且

由得：，

設

在為減函數，

由得：

又