Question

【題目】設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，.

（1）求,的通項公式；

（2）設，，若，，成等差數列（、為正整數且），求和的值；

（3）設為數列的前項和，是否存在實數，使得對一切均成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）存在，最大值為，理由見解析

【解析】

（1）由題可設數列的公差為，的公比為,可得,即可求出,從而可求得與的通項公式；

（2）由可求得的表達式,結合，，成等差數列,可得,進而可求得的等式關系,結合的取值范圍,可求出答案;

（3）先求出的表達式,將與代入不等式中,可得對一切成立,即求在的最小值即可.

（1）依題意,設數列的公差為，的公比為,

則，解得，，.

（2），

依題意,，則（、為正整數且）,

化簡得：，又,得，解得,

，

因為為正整數,，所以，

即，此時.

（3）依題意：,

則對一切成立,

即對一切成立,

即求在的最小值,

設時,取得最小值,

則,

即,

解得,即.

故在的最小值為.

所以存在最大值為滿足題意.