Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為梯形，CD∥AB，AB=2CD，AC交BD于O，銳角△PAD所在平面⊥底面ABCD，PA⊥BD，點Q在側棱PC上，且PQ=2QC．

（1）求證：PA∥平面QBD；
（2）求證BD⊥AD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OQ，因為AB∥CD，AB=2 CD，

所以AO=2OC，又PQ=2QC，

所以PA∥OQ，

又OQ平面QBD，PA平面QBD，

所以PA∥平面QBD

（2）

證明：在平面PAD內過P作PH⊥AD于H，因為側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， PH平面PAD，所以PH⊥平面ABCD
又BD平面ABCD，所以PH⊥BD，又PA⊥BD，
且PA和PH是平面PAD內的兩條相交直線，所以BD⊥平面PAD，
又AD平面PAD，所以BD⊥AD．

【解析】（1）連接OQ，可得PA∥OQ，即可證得PA∥平面QBD．
（2）在平面PAD內過P作PH⊥AD于H，可得PH⊥平面ABCD，即可得PH⊥BD，可得到以BD⊥平面PAD，即BD⊥AD．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．