Question

【題目】在平面直角坐標系 中，以 為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.曲線 的極坐標方程為 ，曲線 的參數方程為 （ 為參數）， .
（Ⅰ）求曲線 的直角坐標方程，并判斷該曲線是什么曲線？
（Ⅱ）設曲線 與曲線 的交點為 ， ， ，當 時，求 的值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 得 ，該曲線為橢圓.

（Ⅱ）將 代入 得 ，由直線參數方程的幾何意義，設 ， ， ， ，

所以 ，從而 ，由于 ，所以

【解析】(1)利用極坐標和直角坐標的互化公式即可得到橢圓的標準方程。(2)根據題意把直線的參數方程代入到橢圓的方程得到關于t的二次方程，利用韋達定理求出 t1 + t2 ， t1t2 的代數式利用已知得出 | PA | + | P B | = | t1 t2 |=，代入解出 cos2 α的值結合角的取值范圍即可得到cos α的值即可。