Question

【題目】已知數列的前n項和.求：

（I）求數列的通項公式；

（II）求數列的前n項和；

（III）求的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：（1）先求出，當時， ， ，兩式相減，驗證當時是否成立，即可得到數列的通項公式；（）由（1）可得，利用裂項相消法求解即可；（）由（1）可得，利用基本不等式，結合是正整數，即可得結果.

試題解析：（）當時， ，

當時， ， ，

兩式相減得，

經驗證不滿足上式．

故．

（）當時， ，

當時， ，

∴

．

經檢驗滿足上式，故．

（）

，當且僅當時，等號成立，

∵，求， ，

∴當時， 取最小值， ．

【方法點晴】本題主要考查等差數列的通項與基本不等式求最值，以及裂項相消法求數列的和，屬于中檔題. 裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.