Question

【題目】已知橢圓 的半焦距為 ，原點 到經過兩點 的直線的距離為 .

（Ⅰ）求橢圓 的離心率；
（Ⅱ）如圖， 是圓 的一條直徑，若橢圓 經過 兩點，求橢圓 的方程.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）過點 的直線方程為 ，

則原點 到直線的距離 ，

由 ，得 ，解得離心率 .

（Ⅱ）由（1）知，橢圓 的方程為 .

依題意，圓心 是線段 的中點，且 .

易知， 不與 軸垂直.

設其直線方程為 ，代入（1）得

.

設 ，則 ， .

由 ，得 ，解得 .

從而 .

于是 .

由 ，得 ，解得 .

故橢圓 的方程為 .

【解析】(1)根據題意由點到直線的距離公式可得出代入，聯立可求出離心率即可。(2)由(1)設出橢圓的方程再設出直線AB的方程聯立，借助韋達定理求出x1 + x2、x1x2關于k的代數式代入到弦長公式中即可求出b2的值，進而得到橢圓的方程。
【考點精析】通過靈活運用點到直線的距離公式和橢圓的標準方程，掌握點到直線的距離為：；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．