Question

比較(1+

1

n+1

)n+1與(1+

1

n

)n（n∈N）的大小．

Answer 1

考點：不等式比較大小

專題：不等式的解法及應用

分析：先建立一個不等式，設b＞a＞0，于是對于任意自然數n≥1有bⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹=（b-a）（bⁿ+b^n-1a+b^n-2a²+…+ba^n-1+
aⁿ）＜（b-a）•（n+1）bⁿ．整理為aⁿ⁺¹＞bⁿ[（n+1）a-bn]，令a=1+

1

n+1

，b=1+

1

n

代入即可得出．

解答： 解：先建立一個不等式，設b＞a＞0，于是對于任意自然數n≥1有
bⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹=（b-a）（bⁿ+b^n-1a+b^n-2a²+…+ba^n-1+aⁿ）＜（b-a）•（n+1）bⁿ
即bⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹＜（n+1）bⁿ（b-a）．
整理為aⁿ⁺¹＞bⁿ[（n+1）a-bn]，
令a=1+

1

n+1

，b=1+

1

n

，先計算：（n+1）a-nb=(n+1)(1+

1

n+1

)-n(1+

1

n

)=1．
∴aⁿ⁺¹＞bⁿ，
∴(1+

1

n+1

)n+1＞(1+

1

n

)n．

點評：本題考查了構建不等式證明結論的方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．