Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=1，BB₁=2，求：
（1）異面直線B₁C₁與A₁C所成角的大小；
（2）四棱錐A₁-B₁BCC₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）利用平移法，確定∠A₁CB（或其補角）是異面直線B₁C₁與A₁C所成角，從而可得異面直線B₁C₁與A₁C所成角的大小；
（2）證明A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，即可四棱錐A₁-B₁BCC₁的體積．

解答： 解：（1）因為B₁C₁∥BC，
所以∠A₁CB（或其補角）是異面直線B₁C₁與A₁C所成角．…（1分）
因為BC⊥AB，BC⊥BB₁，所以BC⊥平面ABB₁，
所以BC⊥A₁B．…（3分）
在Rt△A₁BC中，tan∠A1CB=

A1B

BC

=

5

，所以∠A1CB=arctan

5

…（5分）
所以異面直線B₁C₁與A₁C所成角的大小為arctan

5

．           …（6分）
（2）因為A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥BB₁
所以A₁B₁⊥平面B₁BCC₁…（9分）
因為∠ABC=90°，AB=BC=1，BB₁=2，
所以VA1-B1BCC1=

1

3

SB1BCC1×A1B1=

2

3

…（12分）

點評：本題考查異面直線及其所成的角，考查錐體體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．