Question

（1）已知雙曲線與橢圓

x2

9

+

y2

25

=1共焦點，它們的離心率之和為

14

5

，求雙曲線方程．
（2）求與雙曲線

x2

9

-

y2

3

=1有共同的漸近線，并且經過點（

3

，-4）的雙曲線方程．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）先根據橢圓方程求得橢圓的焦點和離心率，進而根據題意求得雙曲線的焦點和離心率，進而求得雙曲線方程得長軸和短軸，則雙曲線方程可得；
（2）設雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

3

=λ，將點（

3

，-4）的坐標代入可求λ．

解答： 解：（1）依題意可知橢圓方程中a=5，b=3，
∴c=4
∴橢圓焦點為F（O，±4），離心率為e=

4

5

∴雙曲線的焦點為F（O，±4），離心率為2，
從而雙曲線中

a′2+b′2=16 c a =2

求得c′=4，a′=2，b′=2

3

．
∴所求雙曲線方程為

y2

4

-

x2

12

=1；
（2）設與雙曲線

x2

9

-

y2

3

=1有共同的漸近線的雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

3

=λ，
∵該雙曲線經過點（

3

，-4），
∴λ=-5．
∴所求的雙曲線方程為：

y2

15

-

x2

45

=1．

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程和圓錐曲線的共同特征．考查了學生對圓錐曲線的綜合理解，正確設出方程是關鍵．