Question

已知數列：

1

1

，

2

1

，

1

2

，

3

1

，

2

2

，

1

3

，

4

1

，

3

2

，

2

3

，

1

4

，…依它的前10項的規律，這個數列的第2014項a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：規律型

分析：觀察數列的特征，得出它的項數是1+2+3+…+k=

k(k+1)

2

（k∈N^*），在每一個k段內是k個分數（k∈N^*，k≥3），且它們的分子分母和為k+1；進而求出第2014項即可．

解答： 解：觀察數列：

1

1

，

2

1

，

1

2

，

3

1

，

2

2

，

1

3

，

4

1

，

3

2

，

2

3

，

1

4

，…，
得出：它的項數是1+2+3+…+k=

k(k+1)

2

（k∈N^*），
并且在每一個k段內，是k個分數（k∈N^*，k≥3），且它們的分子分母和為k+1（k∈N^*，k≥3）；
由k=62時，

k(k+1)

2

=1953＜2014（k∈N^*），
由k=63時，

k(k+1)

2

=2016＞2014（k∈N^*），
故a₂₀₁₄在63段中
∴該數列的第2014項a₂₀₁₄為第63組的第61項，
故a₂₀₁₄=

3

61

，
故答案為：

3

61

．

點評：本題考查了數列的應用問題，解題時應根據數列的特征，總結出規律，得出正確的結論，是基礎題．