Question

若

a

=（

3

cosωx，sinωx），

b

=（sinωx，0），其中ω＞0，記函數(shù)f（x）=（

a

+

b

）•

b

-

1

2

．
（1）若f（x）的圖象中兩條相鄰對稱軸間的距離

π

2

，求ω的值；
（2）在（1）的條件下，若x∈[-

π

6

，

π

6

]，求f（x）最大值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的最值

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式的變形，化簡f（x），再由周期公式，即可求出ω；
（2）由（1）判斷出[-

π

6

，

π

6

]為增區(qū)間，即可求出f（x）的最大值．

解答： 解：（1）∵

a

=（

3

cosωx，sinωx），

b

=（sinωx，0），
∴f（x）=（

a

+

b

）•

b

-

1

2

=

a

•

b

+

b

2-

1

2

=

3

sinωx•cosωx+sin²ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

），
由題設(shè)得，f（x）的最小正周期為π，即有

2π

2ω

=π，
∴ω=1；
（2）f（x）=sin（2x-

π

6

），
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

6

]⊆[-

π

2

，

π

2

]，
∴[-

π

6

，

π

6

]為增區(qū)間，
∴當(dāng)x=-

π

6

時f（x）_min=sin（-

π

2

）=-1，x=

π

6

時，f（x）_max=sin

π

6

=

1

2

，
故f（x）的最大值為

1

2

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查二倍角公式的靈活運用，同時考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，是一道基礎(chǔ)題．