Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求證：AD⊥BM；
（2）求DC與平面ADM所成的角的正弦值；
（3）若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，二面角E-AM-D的余弦值為

5

5

．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關系,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）先證明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，證明BM⊥平面ADM，從而可得AD⊥BM；
（2）以M為坐標原點，MA為x軸，MB為y軸，建立空間直角坐標系，求出面ADM的法向量，利用向量的夾角公式，即可求DC與平面ADM所成的角的正弦值；
（3）求出面AMD的法向量、面AEM的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合二面角E-AM-D的余弦值為

5

5

，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：∵長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點，
∴AM=BM=

2

，
∴BM⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM
∴AD⊥BM…（4分）
（2）解：以M為坐標原點，MA為x軸，MB為y軸，建立空間直角坐標系，
則D(

2

2

，0，

2

2

)，C(-

2

2

，

2

2

，0)，

DC

=(-

2

，

2

2

，-

2

2

)
面ADM的法向量為

n

=(0，1，0)；設DC與面ADM所成的角為θ．
∴sinθ=|cos＜

DC

，

n

＞|=|

2 2

1× 3

|=

2

2 3

=

6

6

，
∴DC與面ADM所成的角的正弦值為

6

6

．…（8分）
（3）解：同（2）中建立空間直角坐標系
面AMD的法向量為

MB

=(0，

2

，0)
設

DE

=λ

DB

=λ(-

2

2

，

2

，-

2

2

)=(-

2

2

λ，

2

λ，-

2

2

λ)

AE

=

DE

-

DA

=(-

2

2

λ，

2

λ，-

2

2

λ)-(

2

2

，0，-

2

2

)=(-

2

2

λ-

2

2

，

2

λ，-

2

2

λ+

2

2

)
設面AEM的法向量為

n

=(x，y，z)，
∴

n • MA =0 n • AE =0

⇒

x=0 2 λy- 2 2 λz+ 2 2 z=0

令y=1，z=

2λ

λ-1

，∴

n

=(0，1，

2λ

λ-1

)…（10分）
由題意

5

5

=cos＜

MB

，

n

＞=

(0， 2 ，0)•(0，1， 2λ λ-1 )

2 • 1+( 2λ λ-1 )2

解得：λ=

1

2

即E在DB中點時，二面角E-AM-D的余弦值為

5

5

…（13分）

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，正確運用面面垂直的性質(zhì)，掌握線面垂直的判定方法，正確運用向量法是關鍵．