Question

已知M為△ABC的邊BC上一點，若AM=CM=2，BM=1，則

2

AB+AC的最大值為

 

．

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：計算題,解三角形

分析：設(shè)∠AMB=θ，θ∈（0，π），在△ABM、在△AMC中，分別利用余弦定理可表示

2

AB+AC，然后利用三角恒等變換求出其平方的最大值．

解答： 解：設(shè)∠AMB=θ，θ∈（0，π），
在△ABM中，由余弦定理，得AB²=AM²+BM²-2AM•BMcosθ=5-4cosθ，
在△AMC中，由余弦定理，得AC²=AM²+MC²-2AM•MCcos（π-θ）=8+8cosθ，
∴

2

AB+AC=

2

•

5-4cosθ

+

8+8cosθ

=

10-8cosθ

+

8+8cosθ

，
(

2

AB+AC)2=18+2

(10-8cosθ)(8+8cosθ)

=18+2

-64(cosθ- 1 8 )2+81

，
當(dāng)cosθ=

1

8

時，18+2

-64(cosθ- 1 8 )2+81

取得最大值36，
∴

2

AB+AC的最大值為6，
故答案為：6．

點評：該題考查余弦定理及其應(yīng)用，考查函數(shù)思想，屬中檔題．