Question

【題目】已知等差數列{an}的公差d＞0，設{an}的前n項和為Sn ， a1=1，S2S3=36．
（1）求d及Sn；
（2）求m，k（m，k∈N*）的值，使得am+am+1+am+2+…+am+k=65．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a1=1，S2S3=36得，

（a1+a2）（a1+a2+a3）=36，

即（2+d）（3+3d）=36，化為d2+3d﹣10=0，

解得d=2或﹣5，

又公差d＞0，則d=2，

所以Sn=n =n2（n∈N*）．

（2）解：由（1）得，an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

由am+am+1+am+2+…+am+k=65得， ，

即（k+1）（2m+k﹣1）=65，

又m，k∈N*，則（k+1）（2m+k﹣1）=5×13，或（k+1）（2m+k﹣1）=1×65，

下面分類求解：

當k+1=5時，2m+k﹣1=13，解得k=4，m=5；

當k+1=13時，2m+k﹣1=5，解得k=12，m=﹣3，故舍去；

當k+1=1時，2m+k﹣1=65，解得k=0，故舍去；

當k+1=65時，2m+k﹣1=1，解得k=64，m=﹣31，故舍去；

綜上得，k=4，m=5．

【解析】（1）根據等差數列通項公式和前n項和公式，把條件轉化為關于公差d的二次方程求解，注意d的范圍對方程的根進行取舍；（2）由（1）求出等差數列{an}的通項公式，利用等差數列的前n項和公式，對am+am+1+am+2+…+am+k=65化簡，列出關于m、k的方程，再由m，k∈N*進行分類討論，求出符合條件的m、k的值．
【考點精析】關于本題考查的等差數列的前n項和公式和數列的前n項和，需要了解前n項和公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能得出正確答案．