Question

【題目】已知直線： 與軸的交點是橢圓： 的一個焦點.

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線與橢圓交于、兩點，是否存在使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】【試題分析】（１）依據題設條件先焦半距即可獲解；（２）借助題設及直線與橢圓的位置關系，運用向量的數量積公式建立方程分析求解：

（Ⅰ）因為直線： 與軸的交點坐標為

所以橢圓： 的一個焦點坐標為，

所以橢圓的焦半距，所以，

故所求的方程為．

(Ⅱ) 將直線的方程代入并整理得.

設點，則．

假設以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點，則，即．

又，于是， 解得，

經檢驗知：此時（*）式，適合題意.

故存在，使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點．