Question

【題目】已知函數(shù)， .

(1)若曲線的一條切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求這條切線的方程.

(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2。

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②證明： .

Answer 1

【答案】（1）或.（2）①②見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）先設(shè)切線點(diǎn)斜式方程，再與二次函數(shù)聯(lián)立方程組，利用判別式為零得斜率（2）①先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，單調(diào)函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)不單調(diào)，再依次討論對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間上有零點(diǎn)滿足的條件②構(gòu)造函數(shù)， ，利用導(dǎo)數(shù)易得函數(shù)單調(diào)遞增，即得結(jié)論

試題解析：解:(1)解法一 設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線與曲線相切于點(diǎn)，

由得，

所以該切線方程為，

因?yàn)樵撉芯�經(jīng)過(guò)，

所以，解得，

所以切線方程為或.

解法二 由題意得曲線的切線的斜率一定存在，

設(shè)所求的切線方程為，

由 ，得，

因?yàn)榍芯�與拋物線相切，

所以，解得，

所以所求的切線方程為或.

（2）①由，得.

設(shè)，

則，

由題意得函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn).

（i）當(dāng)，則，

只有一個(gè)零點(diǎn)1．

（ii）當(dāng)時(shí)，由得，由得，

即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

而，

所以在上有唯一零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在上.

取且，

則

所以在上有唯一零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在上，

所以恰好有兩個(gè)零點(diǎn).

（iii）當(dāng)時(shí)，由得，

若， ，

所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn).

若，則，

當(dāng)時(shí)， ，即在上單調(diào)遞減．

又，所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上為減函數(shù)，

又，

所以h(x)在上無(wú)零點(diǎn).

若，則，

又當(dāng)時(shí)， ，

所以不存在零點(diǎn)．

在上無(wú)零點(diǎn)

故當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．

因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

又。

所以在無(wú)零點(diǎn)，在至多有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上， 的取值范圍為．

②不妨設(shè)，

由①知， ，且， 在單調(diào)遞減，

所以等價(jià)于，即．

由于，

且，

所以．

設(shè)，

則，

當(dāng)時(shí)， ，所以.

而，故當(dāng)時(shí)， ．

從而，故．