Question

【題目】如圖所示，正方體的棱長為1， 分別是棱的中點，過直線的平面分別與棱交于，設, ，給出以下四個命題：

①

②當且僅當時，四邊形的面積最小；

③四邊形周長, ，則是奇函數；

④四棱錐的體積為常函數；

其中正確命題的個數為（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】①連結 ，則由正方體的性質可知， 平面 ，所以，所以正確．
②因為，四邊形 的對角線 是固定的，所以要使面積最小，則只需 的長度最小即可，此時當 為棱的中點時，即 時，此時 長度最小，對應四邊形 的面積最小．所以②正確．
③因為 ，所以四邊形 是菱形．函數

為偶函數，故③不正確．

④連結 ，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以 為底，以 分別為頂點的兩個小棱錐．因為三角形 的面積是個常數． 到平面的距離是個常數，所以四棱錐 的體積 為常函數，所以④正確．
故選C．