Question

【題目】已知數列為公差不為的等差數列， 為前項和， 和的等差中項為，且．令數列的前項和為．

（1）求及；

（2）是否存在正整數成等比數列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），

（Ⅱ）當可以使成等比數列．

【解析】試題分析：（1）由于和的等差中項為，可得，又．利用等差數列通項公式將其轉化為表示，解方程組求出其值，進而得到，結合通項公式特點可采用裂項相消法求和；

（2）假設存在正整數m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比數列，則，當m=2時，化為，解得一組m，n的值滿足條件．當m≥3時，由于關于m單調遞增，可知，化為5n+27≤0，由于n＞m＞1，可知上式不成立

試題解析：（Ⅰ）因為為等差數列，設公差為，則由題意得

整理得

所以

由

所以

（Ⅱ）假設存在

由（Ⅰ）知， ，所以

若成等比，則有

，（1）

因為，所以，

因為，當時，帶入（1）式，得；

綜上，當可以使成等比數列．