Question

【題目】設函數f（x）=sinxcosx將 f（x）的圖象向右平移 （0＜φ＜π） 個單位，得到y=g（x）圖象且g（x）的一條對稱軸是直線x= ．
（1）求φ；
（2）求函數y=g（x）的單調增區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= sin2x，g（x）= sin（2x﹣φ）

∵x= 是函數y=g（x）圖象的對稱軸．

∴sin（2× ﹣φ）=±1， ﹣φ=kπ+ ，k∈Z．

∵0＜φ＜π，∴φ=

（2）解：由（1）知φ= ，因此y=sin（2x﹣ ）．

由題意得2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z．

∴函數y=sin（2x﹣ ）的單調增區間為[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z

【解析】（1）由已知利用平移變換規律可求g（x）= sin（2x﹣φ），由sin（2× ﹣φ）=±1，可求 ﹣φ=kπ+ ，k∈Z，結合范圍0＜φ＜π，即可得解φ的值．（2）由2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z，即可解得函數y=sin（2x﹣ ）的單調增區間．
【考點精析】掌握函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換是解答本題的根本，需要知道圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．