Question

【題目】已知等邊三角形PAB的邊長為4，四邊形ABCD為正方形，平面PAB⊥平面ABCD，E，F，G，H分別是線段AB，CD，PD，PC上的點．
（1）如圖①，若G為線段PD的中點，BE=DF=1，證明：PB∥平面EFG；
（2）如圖②，若E，F分別是線段AB，CD的中點，DG=3GP，GH= HP，求二面角H﹣EF﹣G的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取CD的中點K，連結PK、BK，

∵G為線段PD的中點，BE=DF=1，

∴GF是△DPK的中位線，∴PK∥GF，

∵GF平面EFG，PK平面EFG，

∴PK∥平面EFG，

∵四邊形ABCD為正方形，BE=DF=1，∴四邊形EBKF是平行四邊形，

∴BK∥EF，∵EF平面EFG，BK平面EFG，

∴BK∥平面EFG，

∵PK∩BK=K，PK，BK平面PKB，∴平面EFG∥平面PKB，

∵PB平面PKB，∴PB∥平面EFG

（2）解：（2）連結PE，則PE⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE平面PAB，

∴PE⊥平面ABCD，分別以EB、EF、EP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

則P（0，0，2 ），E（0，0，0），F（0，4，0），G（﹣ ，1， ），H（ ，3， ），

則 =（ ）， =（0，4，0）， =（﹣ ），

設平面EFG的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=9，得 =（9，0， ），

設平面HEF的法向量 =（a，b，c），

則 ，取a=﹣1，得 =（﹣1，0， ），

∴cos＜ ＞= = =﹣ ，

由圖知二面角H﹣EF﹣G是鈍角，

∴二面角H﹣EF﹣G的余弦值是﹣ ．

【解析】（1）取CD的中點K，連結PK、BK，推導出GF是△DPK的中位線，從而PK∥GF，進而PK∥平面EFG，推導出四邊形EBKF是平行四邊形，從而BK∥平面EFG，進而平面EFG∥平面PKB，由此能證明PB∥平面EFG．（2）連結PE，則PE⊥AB，分別以EB、EF、EP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角H﹣EF﹣G的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．