Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M是PD的中點，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．
（1）求證：PA⊥CM；
（2）求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PA的中點N，連接MN，NC，

∵MN為△PAD的中位線，∴MN∥AD，

∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AD，

又∵AC⊥AD，PC∩AD=C，∴AD⊥平面PAC，

∴AD⊥PA，則MN⊥PA，

∵PC=AC，N為PA的中點，∴CN⊥PA，

∵MN∩NC=N，∴PA⊥平面MNC，

又∵CM平面MNC，∴PA⊥CM

（2）解：設PC=AC=1，則BC= ，

∵BA⊥BC，∴cos ，

∴∠ACD=∠ACB=60°，

又∵AC⊥CD，∴CD=2．

以B為坐標原點，以BA、CB所在直線分別為x、y軸，以過B點和PC平行的直線為z軸距離如圖所示坐標系．

則A（ ，0，0），C（0，﹣ ，0），D（ ，﹣ ，0），P（0，﹣ ，1），

∴M（ ，﹣1， ）．

， ．

∵DA⊥平面PAC，

∴ 是平面PAC的一個法向量．

設 是平面ACM的一個法向量，

則 ，即 ，令x=1，得 ．

∴|cos＜ ＞|=| |=| |= ．

由圖可知，二面角M﹣AC﹣P為銳角，

∴二面角M﹣AC﹣P的余弦值為 ．

【解析】（1）取PA的中點N，連接MN，NC，由三角形中位線定理可得MN∥AD，由PC⊥底面ABCD，得PC⊥AD，結合AC⊥AD，可得AD⊥平面PAC，進一步得到MN⊥PA，再由等腰三角形的性質可知CN⊥PA，由線面垂直的判定得到PA⊥平面MNC，則有PA⊥CM；（2）設PC=AC=1，解三角形可得CD=2．以B為坐標原點，以BA、CB所在直線分別為x、y軸，以過B點和PC平行的直線為z軸距離如圖所示坐標系．求得A，C，D，P的坐標，進一步求出平面PAC與平面ACM的一個法向量，利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角M﹣AC﹣P的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．