Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣2|+|x+4|，g（x）=x2+4x+3．
（1）求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若f（x）≥|1﹣5a|恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）函數f（x）=|x﹣2|+|x+4|，g（x）=x2+4x+3，

不等式f（x）≥g（x）即：|x﹣2|+|x+4|≥x2+4x+3，

①當x＜﹣4時，不等式化為：﹣（x﹣2）﹣（x+4）≥x2+4x+3，

解得：﹣5≤x≤﹣1，∴﹣5≤x＜﹣4；

②當﹣4≤x≤2時，不等式化為：﹣（x﹣2）+（x+4）≥x2+4x+3，

解得：﹣2﹣ ≤x≤﹣2+ ，

∴﹣4≤x ；

③當x＞2時，不等式化為：（x﹣2）+（x+4）≥x2+4x+3，

解得：x∈，

綜上：不等式的解集為：{x|﹣5≤x }

（2）解：因為|x﹣2|+|x+4|≥|x﹣2﹣x﹣4|=6，

f（x）≥|1﹣5a|恒成立，

所以6≥|1﹣5a|，即﹣6≤1﹣5a≤6，解得﹣1 ，

所以實數a的取值范圍[﹣1， ]

【解析】（1）通過x與﹣4以及2的大小比較，去掉絕對值符號，化簡不等式，然后求解即可．（2）利用絕對值的幾何意義，求出函數的最小值，然后化簡不等式求解a的范圍即可．