Question

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1為矩形，AB=2，AA1=2 ，D是AA1的中點，BD與AB1交于點O，且CO⊥平面ABB1A1 ．

（Ⅰ）證明：平面AB1C⊥平面BCD；
（Ⅱ）若OC=OA，△AB1C的重心為G，求直線GD與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ABB1A1為矩形，AB=2， ，D是AA1的中點，∴∠BAD=90°， ， ，

從而 ， ，∵ ，∴∠ABD=∠AB1B，…（2分）

∴ ，∴ ，從而AB1⊥BD…（4分）

∵CO⊥平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，∴AB1⊥CO，∵BD∩CO=O，∴AB1⊥平面BCD，

∵AB1平面AB1C，

∴平面AB1C⊥平面BCD…（6分）

（Ⅱ）如圖，以O為坐標原點，

分別以OD，OB1，OC所在直線為x，y，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz．

在矩形ABB1A1中，由于AD∥BB1，所以△AOD和△B1OB相似，

從而

又 ， ∴ ， ， ， ，∴ ， ， ∵G為△AB1C的重心，∴ ， …（8分）

設平面ABC的法向量為 ， ，

由 可得 ，

令y=1，則z=﹣1， ，所以 ．…（10分）

設直線GD與平面ABC所成角α，則 = ，

所以直線GD與平面ABC所成角的正弦值為 …（12分）

【解析】（Ⅰ）通過證明AB1⊥BD，AB1⊥CO，推出AB1⊥平面BCD，然后證明平面AB1C⊥平面BCD．（Ⅱ）以O為坐標原點，分別以OD，OB1，OC所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz．求出平面ABC的法向量，設直線GD與平面ABC所成角α，利用空間向量的數量積求解直線GD與平面ABC所成角的正弦值即可．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．