Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ACC1A1⊥底面ABC，∠A1AC=60°，AC=2AA1=4，點D，E分別是AA1 ， BC的中點．
（1）證明：DE∥平面A1B1C；
（2）若AB=2，∠BAC=60°，求直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AC的中點F，連接DF，EF，∵E是BC的中點，∴EF∥AB，

∵ABC﹣A1B1C1是三棱柱，∴AB∥A1B1，∴EF∥A1B1，

∴EF∥平面A1B1C，

∵D是AA1的中點，∴DF∥A1C，∴DF∥平面A1B1C，

又EF∩DE=E，

∴平面DEF∥平面A1B1C，∴DE∥平面A1B1C

（2）解：過點A1作A1O⊥AC，垂足為O，連接OB，

∵側面ACC1A⊥底面ABC，∴A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥OB，A1O⊥OC，

∵∠A1AC=60°，AA1=2，∴OA=1， ，

∵AB=2，∠OAB=60°，由余弦定理得，OB2=OA2+AB2﹣2OAABcos∠BAC=3，

∴ ，∠AOB=90°，∴OB⊥AC，

分別以OB，OC，OA1為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標系O﹣xyz，

由題設可得A（0，﹣1，0），C（0，3，0）， ， ， ， ，

設 是平面ABB1A1的一個法向量，

則 ，∴ ，

令z1=1，∴ ，

∵ ，

∴ = ，

∴直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）取AC的中點F，連接DF，EF，由E是BC的中點，利用三角形中位線定理可得EF∥AB，再利用三棱柱的性質、線面平行的判定定理可得：EF∥平面A1B1C，DF∥平面A1B1C，可得平面DEF∥平面A1B1C，即可證明DE∥平面A1B1C．（2）過點A1作A1O⊥AC，垂足為O，連接OB，利用面面垂直的性質定理可得：A1O⊥平面ABC，A1O⊥OB，A1O⊥OC．利用余弦定理得，OB2=OA2+AB2﹣2OAABcos∠BAC=3，可得 ，進而得到OB⊥AC．分別以OB，OC，OA1為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標系O﹣xyz，利用平面法向量的夾角公式即可得出．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．