Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足條件f（x+4）=﹣f（x），且函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)， ，當(dāng)x∈[﹣2，0）時(shí)，f（x）的最小值為3，則a的值等于（ ）
A.e2
B.e
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x+2）是偶函數(shù)，∴f（x+2）=f（﹣x+2），

∴f（x）關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，

∴當(dāng)2≤x＜4時(shí)，f（x）=f（4﹣x）=ln（4﹣x）﹣a（4﹣x）．

∵f（x+4）=﹣f（x），

∴當(dāng)﹣2≤x＜0時(shí)，f（x）=﹣f（x+4）=﹣ln[4﹣（x+4）]+a[4﹣（x+4）]=﹣ln（﹣x）﹣ax，

∴f′（x）=﹣ ﹣a，

令f′（x）=0得x=﹣ ，

∵a ，∴﹣ ∈（﹣2，0），

∴當(dāng)﹣2≤x＜﹣ 時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)﹣ ＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，

∴f（x）在[﹣2，﹣ ）上單調(diào)遞減，在（﹣ ，0）上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)x=﹣ 時(shí)，f（x）取得最小值f（﹣ ）=﹣ln +1，

∵f（x）在[﹣2，0）上有最小值3，

∴﹣ln（ ）+1=3，解得a=e2．

故選A．