Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）研究函數(shù)的單調性；

（2）研究函數(shù)的零點個數(shù)情況，并指出對應的范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當時，存在唯一零點；當時，無零點

【解析】

（1）首先確定函數(shù)定義域和導函數(shù)；分別在、、和四種情況下，根據(jù)導函數(shù)的正負，確定原函數(shù)的單調性；

（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調性，分別在、、和四種情況下根據(jù)函數(shù)的極值和最值，結合單調性確定零點個數(shù).

（1）由題意得：定義域為，

①當時，令得：

則當時，；當時，

在上單調遞增，在上單調遞減

②當時，，即 在上單調遞增

③當時，

令，解得：，

則當和時，；當時，

在上單調遞增，在上單調遞減

④當是，

令，解得：，

則當時，；當時，

在上單調遞增，在上單調遞減

（2）①當時，在上單調遞增，在上單調遞減

；當時，；當時，

不存在零點

②當時，在上單調遞增，在上單調遞減

且

，

令，則

在上單調遞增

又當時，；當時，

不存在零點

③當時，在上單調遞增

當時，；當時，

必存在唯一零點

④當時，在上單調遞增，在上單調遞減

且

，

令，則

在上單調遞增

又當時，；當時，

必存在唯一零點

綜上所述：當時，存在唯一零點；當時，無零點