Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若，判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，求出極值：若不存在，說(shuō)明理由：

（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍：

（3）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：

Answer 1

【答案】（1）不存在極值，詳見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)代入,設(shè),再求導(dǎo)分析的單調(diào)性與最值,進(jìn)而可得即可知函數(shù)不存在極值.

(2)根據(jù)(1)中可分當(dāng)時(shí),與兩種情況,再求導(dǎo)分析函數(shù)的最小值判斷是否能夠成立即可.

(3)由題意①,②,再兩式相減構(gòu)造證明恒成立即可.

解：因?yàn)?/span>,所以

設(shè)

則

因?yàn)?/span>時(shí),單調(diào)遞減，時(shí),單調(diào)遞增

所以時(shí),取得極小值也是最小值,此時(shí)

所以,即在上恒成立,

所以函數(shù)不存在極值.

由因?yàn)?/span>,所以在上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)

若,即,

所以在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,

所以

若,即,則

又因?yàn)?/span>,且在上是單調(diào)遞增不間斷的函數(shù),

所以存在唯一的使得.

在區(qū)間上,,

所以在上恒成立,所以在上單調(diào)遞減,

所以,與題設(shè)矛盾,所以不成立.

綜上可知：.

因?yàn)?/span>①,

②

由①-②得：,即

要證,只要證

即證

設(shè),因?yàn)?/span>,所以

即證

令

則

所以單調(diào)遞減,所以,原命題得證.