Question

【題目】已知函數f（x）= （a、b為常數），且f（1）= ，f（0）=0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）在定義域上的奇偶性，并證明；
（3）對于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m4x恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得 ， ，

解得a=1，b=﹣1，

所以 ；

（2）函數f（x）為奇函數．

證明如下：f（x）的定義域為R，

∵ ，

∴函數f（x）為奇函數；

（3）解：∵ ，∴ ，

∴2x﹣1＜m4x

∴ =g（x），

故對于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m4x恒成立等價于m＞g（x）max

令 ，則y=t﹣t2 ，

則當 時

故 ，

即m的取值范圍為 ．

【解析】（1）運用代入法，得到a，b的方程，解得a，b，可得f（x）的解析式；（2）函數f（x）為奇函數．運用奇函數的定義，即可得證；（3）f（x）（2x+1）＜m4x恒成立，即為2x﹣1＜m4x ， 運用參數分離和換元法，結合指數函數和二次函數的值域，可得右邊的最大值，即可得到m的范圍．