Question

【題目】已知函數f（x）=log4（2x+3﹣x2）．
（1）求f（x）的定義域及單調區間；
（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值時x的值；
（3）設函數g（x）=log4[（a+2）x+4]，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令2x+3﹣x2＞0，

解得：x∈（﹣1，3），

即f（x）的定義域為（﹣1，3），

令t=2x+3﹣x2，

則y=log4t，

∵y=log4t為增函數，

x∈（﹣1，1]時，t=2x+3﹣x2為增函數；

x∈[1，3）時，t=2x+3﹣x2為減函數；

故f（x）的單調增區間為（﹣1，1]；f（x）的單調減區間為[1，3）

（2）解：由（1）知當x=1時，t=2x+3﹣x2取最大值4，

此時函數f（x）取最大值1

（3）解：若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，

則2x+3﹣x2≤（a+2）x+4在x∈（0，3）上恒成立，

即x2+ax+1≥0在x∈（0，3）上恒成立，

即a≥﹣（x+ ）在x∈（0，3）上恒成立，

當x∈（0，3）時，x+ ≥2，則﹣（x+ ）≤﹣2，

故a≥﹣2

【解析】（1）令2x+3﹣x2＞0，可得函數的定義域，利用復合函數“同增異減”的原則，可得函數f（x）的單調區間；（2）由（1）中函數的單調性，可得當x=1時，函數f（x）取最大值1；（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x+ ）在x∈（0，3）上恒成立，解得實數a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解復合函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”．