Question

【題目】已知函數f（x）=ex+ax+b（a≠0，b≠0）．
（1）若函數f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程為y=2，求f（x）在區間[﹣2，1]上的最值；
（2）若a=﹣b，試討論函數f（x）在區間（1，+∞）上零點的個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex+ax+b，∴f′（x）=ex+a，

∴f′（0）=1+a，

∵函數f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程為y=2，

∴a=﹣1．

∵x=0，f（0）=2，

∴1+b=2，

∴b=1，

∴f（x）=ex﹣x+1，

∴f′（x）=ex﹣1，

當x＜0時，有f′（x）＜0，f（x）遞減，

當x＞0時，有f′（x）＞0，f（x）遞增．

則x=0處f（x）取得極小值，也為最小值，且為2，

又f（﹣2）=e﹣2+3，f（1）=e，f（2）＞f（1），

即有f（﹣2）為最大值e﹣2+3；

（2）解：若a=﹣b，f（x）=ex+ax﹣a=0，x＞1，﹣a= ，

令g（x）= ，則g′（x）= ，

當x＞2時，g′（x）＞0，g（x）遞增，

當x＜1和1＜x＜2時，g′（x）＜0，g（x）遞減．

即有x=2處g（x）取得極小值，為e2，

∴﹣a＜e2，即a＞﹣e2，函數f（x）在區間（1，+∞）上零點的個數為0；

﹣a=e2，即a=﹣e2，函數f（x）在區間（1，+∞）上零點的個數為1；

﹣a＞e2，即a＜﹣e2，函數f（x）在區間（1，+∞）上零點的個數為2．

【解析】（1）求出導數，利用函數f（x）的圖象在點（0，f（0））處的切線方程為y=2，解得a=﹣1，b=1，求得極小值2，也為最小值，再求f（﹣2）和f（1），比較即可得到最大值；（2）若a=﹣b，f（x）=ex+ax﹣a=0，x＞1，﹣a= ，g（x）= ，求出導數，求得單調區間和極值，即可討論函數f（x）在區間（1，+∞）上零點的個數．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．