Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= x2﹣3x+（a﹣1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）﹣g（x）+3x．
（1）當a=5時，求函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）的最小值；
（2）當a=3時，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間及極值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x+ ﹣3，其中x＞0．

因為a=5，又x＞0，所以 ，

當且僅當x=2時取等號，其最小值為1；

（2）解：當a=3時，h（x）= x2+2lnx﹣3x，

h′（x）=x+ ﹣3= ，

x，h′（x），h（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
h′（x）	+	0	﹣	0	+
h（x）	遞增	﹣	遞減	2ln2﹣4	遞增

函數(shù)h（x）在x=1處取得極大值﹣ ，在x=2處取得極小值2ln2﹣4

【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值即可；（2）求出h（x）的導數(shù)，得到h（x）的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．