Question

【題目】設(shè)函數(shù)由方程確定，對(duì)于函數(shù)給出下列命題：

①存在，，使得成立；

②，，使得且同時(shí)成立；

③對(duì)于任意，恒成立；

④對(duì)任意，，；都有恒成立．

其中正確的命題共有（ ）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】A

【解析】

將方程的絕對(duì)值符號(hào)去掉，畫出函數(shù)的圖象，對(duì)命題逐一判斷，得:

對(duì)①，函數(shù)在上遞減，故①錯(cuò)誤；

對(duì)②，即，均在圖象上，討論點(diǎn)分別在第一、二、四象限代入方程，看是否有實(shí)數(shù)解；

對(duì)③，恒成立，即恒成立，由圖的圖象總在圖象的上方，故③正確；

對(duì)④，可通過舉出反例確定④錯(cuò)誤.

由方程知，

當(dāng)且時(shí)，方程為；

當(dāng)且時(shí)，方程為，不成立；

當(dāng)且時(shí)，方程為；

當(dāng)且時(shí)，方程為，不成立；

作出函數(shù)的圖象如圖所示，

對(duì)于①，是定義域R上的單調(diào)減函數(shù)，

則對(duì)任意，都有恒成立，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，假設(shè)點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)也在第一象限，

所以，該方程組沒有實(shí)數(shù)解，所以該情況不可能；

假設(shè)點(diǎn)在第四象限，則點(diǎn)在第二象限，

所以，該方程組沒有實(shí)數(shù)解，所以該種情況不可能；

同理點(diǎn)在第二象限，則點(diǎn)在第四象限，也不可能．

故該命題是假命題．

對(duì)于③，由圖形知，對(duì)于任意，有

即恒成立，③正確；

對(duì)于④，不妨令，

則為，

又由題，則 ，

即不恒成立，所以④錯(cuò)誤．

綜上知，正確的命題序號(hào)是③．

故選：A