Question

【題目】如圖所示，在直角梯形中，，、分別是、上的點，，且（如圖①）.將四邊形沿折起，連接、、（如圖②）.在折起的過程中，則下列表述：

①平面；

②四點、、、可能共面；

③若，則平面平面；

④平面與平面可能垂直.其中正確的是__________.

Answer 1

【答案】①③

【解析】

連接、交于點，取的中點，證明四邊形為平行四邊形，可判斷命題①的正誤；利用線面平行的性質定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題②的正誤；連接，證明出，結合線面垂直和面面垂直的判定定理可判斷命題③的正誤；假設平面與平面垂直，利用面面垂直的性質定理可判斷命題④的正誤.綜合可得出結論.

對于命題①，連接、交于點，取的中點、，連接、，如下圖所示：

則且，四邊形是矩形，且，為的中點，

為的中點，且，且，

四邊形為平行四邊形，，即，

平面，平面，平面，命題①正確；

對于命題②，，平面，平面，平面，

若四點、、、共面，則這四點可確定平面，則，平面平面，由線面平行的性質定理可得，

則，但四邊形為梯形且、為兩腰，與相交，矛盾.

所以，命題②錯誤；

對于命題③，連接、，設，則，

在中，，，則為等腰直角三角形，

且，，，且，

由余弦定理得，，

，又，，平面，

平面，，

，、為平面內的兩條相交直線，所以，平面，

平面，平面平面，命題③正確；

對于命題④，假設平面與平面垂直，過點在平面內作，

平面平面，平面平面，，平面，

平面，

平面，，

，，，，，

又，平面，平面，.

，平面，平面，.

，，顯然與不垂直，命題④錯誤.

故答案為：①③.